Родился в поселке Красная Поляна Хотынецкого р-на Орловской области.
В раннем возрасте вместе с семьёй переехал в с. Захарково Конышёвского района Курской области.
Учился в сельской общеобразовательной школе.
В 1987 г. окончил Московское суворовское военное училище.
В Вооруженных Силах СССР с 1987 г.
В 1991 г. окончил Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище. Служил в частях Воздушно-десантных войск Северо-Кавказского и Прибалтийского военных округов. Командовал парашютно-десантным взводом и ротой.
С января по июль 1995 г. участвовал в боях первой чеченской войны. Рота ВДВ под его командованием отличилась в боях за Грозный, Шатой, Чечен-Юрт.
С 1996 г. — начальник штаба парашютно-десантного батальона.
В 1997 г. батальон передислоцирован в Дагестан, где обстановка стала накаляться сразу после так называемого «Хасав-Юртовского мира».
С марта 1999 г. — командир батальона 108-го гвардейского парашютно-десантного полка 7-й гвардейской парашютно-десантной дивизии.
В начале августа 1999 г. батальон поднят по тревоге и переброшен в Ботлихский район Дагестана, куда вошли тысячи боевиков Басаева и Хаттаба. Отряд десантников в 63 человека под командованием С. Костина проник в расположение боевиков и внезапно атаковал их укрепленные позиции на высоте Ослиное Ухо, перебив занимавших их боевиков. С этой господствующей над местностью и идущими в Ботлих дорогами десантники открыли огонь по отрядам противника.
Смириться с потерей враг не мог, и вскоре начался мощный обстрел высоты, а потом одна за другой последовали вражеские атаки. Неравный бой длился свыше 7,5 часов. Когда стали заканчиваться боеприпасы и враг вплотную прорывался к позициям десантников – С. Костин возглавлял дерзкие контратаки, переходившие в рукопашные схватки. Им лично уничтожены 12 боевиков.
При отражении одной из атак С. Костин погиб. Вместе с ним погибли еще одиннадцать бойцов. Однако бой продолжался: на помощь десантникам подошли мотострелковые части, вступила в бой авиация. Десантники отошли в полном порядке, вынеся всех раненых и погибших товарищей, в том числе тело своего комбата.
Боевики потеряли в том бою свыше 100 человек убитыми. Разгром на Ослином Ухе стал полной неожиданностью для врага и переломным моментом в боях в Ботлихском районе. Через несколько дней остатки банд бежали оттуда.
Указом Президента РФ от 10 сентября 1999 г. за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания, гвардии майору Костину С. В. присвоено звание Герой Российской Федерации (посмертно).
Похоронен в с. Захарково Конышевского района Курской области.
Награды: орден Мужества, медаль «За отвагу».
В посёлке Конышевка в память о С.В. Костине названа улица. Имя героя носит Дремово-Черемошанская общеобразовательная школа.
13 августа 2019 г. в п. Черницыно Октябрьского района Курской области на территории храма Пресвятой Богородицы установлен памятник (бюст) С.В. Костину.